CLASE DE GEOMETRIA GRADO 11° DEL 26 DE OCTUBRE DEL 2026 TEMA: LA HIPERBOLA EJERCICIOS

	ÁREA: GEOMETRIA	GRADO: 11°
	DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO	CORREO: matematica. ceqa@gmail.com
	FECHA: DEL 26 DE OCTUBRE DEL 2026	PERIODO: CUARTO
	VALOR: RESPONSABILIDAD	FRASE: “SOMOS CEQUEAMISTAS FORMADOS EN VALOR, LLEVAMOS EN LA SANGRE RESPETO-EDUCACION”

FECHA: DEL 26 DE OCTUBRE DEL 2026

GRADO: 11°

TEMA: HIPERBOLA

SUBTEMA: LA HIPERBOLA EJERCICIOS

LOGRO. Construye la hipérbola y construye sus partes y sus partes

LOGRO. Identifica las secciones cónicas, las clasifica y realiza operaciones básicas aplicando la ecuación fundamental ellas.

ACTIVIDAD PREVIA: Exploro mis conocimientos. ¿Qué es la hipérbola?. lluvia de ideas.

LA HIPERBOLA:

¿Qué es una hipérbola?

La hipérbola es una curva abierta de dos ramas, cuya definición matemática es la siguiente:

En geometría analítica, una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la siguiente condición: el valor absoluto de la diferencia de las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola hasta dos puntos fijos (llamados focos) debe ser constante.

Además, el valor de la resta de esas dos distancias siempre es equivalente a la distancia entre los dos vértices de la hipérbola.

$\lvert d_1 - d_2 \rvert = 2a$

Más abajo veremos qué significa el coeficiente $a$ de una hipérbola.

ECUACION DE LA HIPERBOLA:

La fórmula de la ecuación ordinaria de la hipérbola en coordenadas cartesianas es la siguiente:

$\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}-\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$

Donde:

$x_0$ y $y_0$ son las coordenadas del centro de la hipérbola: $O(x_0,y_0)$
$a$ es la longitud del semieje mayor de la hipérbola.
$b$ es la longitud del semieje menor de la hipérbola.

Ejercicios resueltos de hipérbolas

Ejercicio 2

Calcula la ecuación de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas sabiendo que la diferencia de distancias desde un punto de la hipérbola hasta los focos F(-4,0) y F(4,0) es de 6 unidades.

SOLUCION:

Primero de todo, como la hipérbola tiene el centro en el origen de coordenadas, utilizaremos la ecuación canónica o reducida:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2} = 1$

Luego, según la definición de hipérbola, el valor absoluto de la diferencia de distancias de cualquiera de sus puntos hasta los focos (que en este caso es 6) debe ser igual a la longitud del eje real ( $2a$ ). Por tanto:

$\lvert d_1 - d_2 \rvert = 2a$

$6 = 2a$

$\cfrac{6}{2} = a$

$3 = a$

Por otro lado, el centro de la hipérbola es el punto (0,0) y un foco el punto (4,0). De modo que la distancia en ambos puntos (parámetro $c$ ) son 4 unidades.

$c =4$

Ahora podemos averiguar el valor del parámetro $b$ con la relación matemática que hay entre los 3 coeficientes característicos de la hipérbola:

$c^2 = a^2+b^2$

$b^2 = c^2-a^2$

$b = \sqrt{c^2-a^2}$

$b= \sqrt{4^2-3^2} = \sqrt{16-9} =\sqrt{7}$

Así que la ecuación de la hipérbola es:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2} = 1$

$\cfrac{x^2}{3^2}-\cfrac{y^2}{\left(\sqrt{7}\right)^2} = 1$

$\cfrac{\bm{x^2}}{\bm{9}}-\cfrac{\bm{y^2}}{\bm{7}} \bm{= 1}$

EJERCICIO 3

4) En las siguientes hipérbolas calcular los ejes, focos, vértices y asíntotas y representa gráficamente:

5 ) En las siguientes hipérbolas calcular los ejes, focos, vértices y asíntotas y representa gráficamente:

1. Fórmulas principales

La hipérbola es una cónica formada por los puntos cuya diferencia absoluta de distancias a dos focos es constante.

Hipérbola horizontal (abre hacia la derecha y la izquierda):

\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1

Hipérbola vertical (abre hacia arriba y hacia abajo):

\frac{(y - k)^{2}}{a^{2}} - \frac{(x - h)^{2}}{b^{2}} = 1

Donde:

$(h,k)$ : centro de la hipérbola.
$a$ : distancia del centro a los vértices.
$b$ : parámetro de la hipérbola.
$c$ : distancia del centro a cada foco.

Relación fundamental:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Asíntotas para centro $(h,k)$ :

Horizontal: $\displaystyle y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$ .
Vertical: $\displaystyle y-k=\pm\frac{a}{b}(x-h)$ .

2. Ejercicios propuestos

Resuelve los siguientes ejercicios mostrando el procedimiento.

Nivel básico

1. Identifica el centro, los valores de $a$ y $b$ , y la orientación de la hipérbola:

\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1

2. Encuentra los vértices y los focos de:

\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1

3. Determina el centro y la orientación de:

\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{16} = 1

4. Calcula la distancia focal $c$ si $a=5$ y $b=12$ .

Nivel intermedio

5. Halla los vértices, los focos y las asíntotas de:

\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{25} = 1

6. Encuentra la ecuación de una hipérbola horizontal con centro en $(0,0)$ , $a=4$ y $b=3$ .

7. Escribe la ecuación de una hipérbola vertical con centro en el origen, $a=6$ y $b=8$ .

8. Determina el centro, los vértices y los focos de:

\frac{(x - 2)^{2}}{16} - \frac{(y + 3)^{2}}{9} = 1

9. Encuentra las asíntotas de:

\frac{(y - 1)^{2}}{25} - \frac{(x + 2)^{2}}{9} = 1

10. Halla la ecuación de la hipérbola con centro $(0,0)$ , vértices $(\pm 3,0)$ y focos $(\pm 5,0)$ .

Nivel avanzado

11. Determina la ecuación de una hipérbola horizontal cuyo centro es $(2,-1)$ , con $a=3$ y $b=4$ .

12. Una hipérbola tiene centro en $(0,0)$ , eje transverso vertical, $a=5$ y focos en $(0,\pm13)$ . Encuentra su ecuación.

13. Halla la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son $(1,4)$ y $(1,-2)$ , y cuyo eje conjugado tiene longitud $8$ .

14. Lleva a la forma ordinaria e identifica centro, vértices y focos:

9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 16 y - 43 = 0

15. Grafica la hipérbola, determina sus elementos y dibuja sus asíntotas:

\frac{(x + 1)^{2}}{9} - \frac{(y - 2)^{2}}{4} = 1

3. Respuestas para comprobar

Ejercicio	Respuesta
1	Centro $(0,0)$ , $a=5$ , $b=3$ , horizontal.
2	Vértices $(\pm4,0)$ ; focos $(\pm5,0)$ .
3	Centro $(0,0)$ , vertical.
4	$c=13$ .
5	Vértices $(\pm7,0)$ ; focos $(\pm\sqrt{74},0)$
6	$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ .
7	$\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{64}=1$ .
8	Centro $(2,-3)$ ; vértices $(-2,-3)$ y $(6,-3)$ ; focos $(-3,-3)$ y $(7,-3)$ .
9	$y-1=\pm\frac{5}{3}(x+2)$ .
10	$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ .
11	$\frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y+1)^2}{16}=1$ .
12	$\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}=1$ .
13	$\frac{(y-1)^2}{9}-\frac{(x-1)^2}{16}=1$ .
14	$\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(y+2)^2}{9}=1$ .
15	Centro $(-1,2)$ ; vértices $(-4,2)$ y $(2,2)$ ; asíntotas $y-2=\pm\frac23(x+1)$ .

ACTIVIDAD EN CASA:

RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

1. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola con centro en el punto (-3,4), una longitud del semieje real de 5 unidades y una longitud del semieje imaginario (paralelo al eje Y) de 12 unidades?

2. Halla las coordenadas del centro, los vértices, los focos, el valor de la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación viene definida por:

x^2/36-y^2/81=1

3. Calcula la ecuación de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas sabiendo que la diferencia de distancias desde un punto de la hipérbola hasta los focos F(-7,0) y F(7,0) es de 10 unidades.

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